Задача 54074

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найдите диагональ, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.

Подсказка

Треугольник ABD – равнобедренный.

Решение

Пусть BM – высота параллелограмма ABCD, опущенная из вершины B тупого угла на сторону AD. Поскольку M – середина AD, то в треугольнике ABD высота BM является медианой, значит, треугольник ABD – равнобедренный. В прямоугольном треугольнике ABM угол, противолежащий катету BM, равен 30°, поэтому  BD = AB = 2BM = 4,  а так как  ∠ADC = 180° – ∠BAD = 150°,  ∠ADB = ∠DAB = 30°,  то  ∠ABD = ∠CDB = 150° – 30° = 120°.

Ответ

4, 30°, 120°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1837