|
|
 |
Условие
Через каждую вершину параллеллограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.
Подсказка
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть прямая, проходящая через вершину A параллелограмма ABCD с центром O перпендикулярно диагонали BD, пересекает прямую, проходящую через вершину D перпендикулярно диагонали AC, в точке P. Тогда P – точка пересечения высот треугольника AOD. Следовательно, третья высота этого треугольника лежит на прямой PO и PO ⊥ AD.
Аналогично точка Q пересечения двух оставшихся из указанных
в условии прямых есть точка пересечения высот треугольника BOC. Значит,
QO ⊥ AD и диагональ PQ полученного четырёхугольника (очевидно, это также параллелограмм) проходит через точку O. Следовательно, PQ ⊥ AD. Аналогично для второй диагонали.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1878 |
