|
|
 |
Условие
Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований.
Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
Подсказка
Докажите, что указанные биссектрисы проходят через середину второй боковой стороны данной трапеции.
Решение 1
Обозначим основания AD и BC трапеции ABCD через a и b соответственно. Пусть AB = a + b, биссектриса угла B пересекает боковую сторону CD в точке K, а прямую AD – в точке M.
Поскольку треугольник ABM – равнобедренный (∠AMB = ∠CBM = ∠ABM), то AM = AB, DM = AM – AD = AB – AD = b.
Значит, треугольники BKC и MKD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, K – середина CD. Аналогично докажем, что биссектриса угла A также проходит через точку K.
Решение 2
Пусть L и K – середины боковых сторон AD и BC соответственно. Тогда ALK и BLK – равнобедренные треугольники. Следовательно,
∠LAK = ∠LKA = ∠DAK, то есть AK – биссектриса угла A.
Аналогично, BK – биссектриса угла B.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1942 |
