Задача 54192

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна a и делит сторону пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°.
Найдите диагонали параллелограмма.

Решение

  Пусть M – основание высоты BM параллелограмма ABCD, проведённой из вершины тупого угла B. По условию M – середина AD. Тогда
∠BDM = ∠BAM = 30°.  Из прямоугольного треугольника BMD находим, что  BD = 2BM = 2a.
  Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на прямую AD. Тогда  CK = BM = a,  DK = AM = a,  AK = 3a.
  По теореме Пифагора  AC² = AK² + CK² = 28a².

Ответ

2a,  2a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1955