Задача 54398

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Трапеции (прочее) ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD  AD || BC  на диагонали BD расположена точка K, причём  BK : KD = 1 : 2.
Найдите углы треугольника AKC, если  AC = AD – 2BC,  ∠CAD = α.

Подсказка

Пусть P – такая точка на основании AD, что  DP = 2BC.  Тогда треугольник CAP равнобедренный, а отрезок CP делит диагональ BD в отношении  1 : 2.

Решение

  Отложим на продолжении основания BC за точку C отрезок CM, равный BC, и построим параллелограмм BMDP. Тогда   DP = 2BC,  AP = AC = с.  Поэтому треугольник ACP – равнобедренный,  ∠ACP = ^π–α/₂.
  Точка пересечения отрезков CP и BD делит эти отрезки в отношении  1 : 2,  то есть совпадает с точкой K.
  Опустим перпендикуляры PL и KN на AC. Тогда  KN = ¹/₃ PL = ^c/₃ sin α,  а  AN = (AC – CN) = (c – ¹/₃ CL) = (c – ^c/₃ (1 – cos α)) = ^c/₃ (2 + cos α).  Следовательно,  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2161