Задача 54549

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Гомотетичные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найдите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через данную точку окружности.

Подсказка

Если M - середина хорды AB окружности с центром в точке O(AB — не диаметр), то AMO — прямой.

Решение

Первый способ.

Пусть O — центр данной окружности, A — точка на окружности, M — середина хорды AB (не являющейся диаметром). Тогда отрезок OA виден из точки M под прямым углом, т.к. диаметр проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей. Следовательно, середина любой хорды AB (включая и точку O) лежит на окружности с диаметром AO.

Обратно, любая точка этой окружности (за исключением точки A) есть середина какой-то хорды AB, т.к. диаметр, перепендикулярный хорде, делит её пополам.

Второй способ.

Искомое геометричесоке место точек есть окружность (без точки A), гомотетичная данной с коэффициентом и центром в точке A.

Ответ

Окружность (без точки), радиус которой вдвое меньше радиуса данной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2443