Задача 54602

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку M пересечения двух окружностей проведите прямую, вторично пересекающую окружности в точках A и B соответственно, причём так, чтобы отрезок AB был равен заданному, а точка M оказалась между A и B (центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды).

Подсказка

Проекции центров окружностей на искомую прямую делят соответствующие хорды пополам.

Решение

Предположим, что нужная прямая построена. Пусть O₁ и O₂ — центры данный окружностей, r и R — их радиусы (r < R), AB = a — данный отрезок, точка A лежит на окружности с центром O₁, B — на окружности с центром O₂.

Пусть P и Q — проекции точек O₁ и O₂ на прямую AB. Тогда P и Q — середины хорд AM и BM данных окружностей. Если F — проекция точки O₁ на прямую O₂Q, то в прямоугольном треугольнике O₁FO₂ известны катет

O₁F = PQ = AB = a

и гипотенуза O₁O₂.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник O₁FO₂ по гипотенузе O₁O₂ и катету O₁F = a, и через точку M проводим прямую, параллельную O₁F.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2497