ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 54652
УсловиеДаны отрезки a и b. Постройте отрезок x, равный .
ПодсказкаВоспользуйтесь тождеством
[4]a4+b4 = ,
где c — произвольный отрезок, или тождеством
a4 + b4 = (a2 + b2 - ab)(a2 + b2 + ab).
Решение
Первый способ.
Пусть c - произвольный отрезок. Построим такие отрезки m и n, что = и = . Тогда m = и n = . Затем построим такой отрезок y, что
y = = ,
затем — такой отрезок x, что
x = = = [4]a4+b4.
Второй способ.
Заметим, что
a4 + b4 = a4 + 2a2b2 + b4 - 2a2b2 = (a2 + b2)2 - 2a2b2 =
= (a2 + b2 - ab)(a2 + b2 + ab) =
= (a2 + b2 - 2ab cos 45o)(a2 + b2 - 2ab cos 135o).
Пусть
p = , q = .
Тогда
[4]a4+b4 = .
Отсюда вытекает следующее построение. Строим треугольник со сторонами a и b и углом 45o между ними. Тогда p — третья сторона этого треугольника. Аналогично строим отрезок q. Наконец, искомый отрезок x строим как среднее геометрическое отрезков p и q.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|