Информация о задаче

Задача 54653

Темы:	[	Построения с помощью вычислений	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны отрезки a и b. Постройте такой отрезок x, что

$\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ x = $\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ a + $\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ b.

Подсказка

Пусть c — произвольный отрезок. Тогда

$\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ xc³ = $\displaystyle \sqrt{c\sqrt{ac}}$ + $\displaystyle \sqrt{c\sqrt{bc}}$ .

Решение

Пусть c — произвольный отрезок. Обозначим

m = $\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ xc³ = $\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ ac³ + $\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ bc³ = $\displaystyle \sqrt{c\sqrt{ac}}$ + $\displaystyle \sqrt{c\sqrt{bc}}$ .

Тогда отрезок m можно построить как сумму средних геометрических известных отрезков.

Поскольку

x = $\displaystyle {\frac{m^{4}}{c^{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{\left(\frac{m^{2}}{c}\right)^{2}}{c}}$ ,

то для построения отрезка x достаточно построить сначала такой отрезок n, что n = ${\frac{m^{2}}{c}}$ (или ${\frac{n}{m}}$ = ${\frac{m}{c}}$ ), а затем — отрезок x, равный ${\frac{n^{2}}{c}}$ ( ${\frac{x}{n}}$ = ${\frac{n}{c}}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2550