Задача 54704

Темы:    [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Диагональ параллелограмма, равная b, перпендикулярна стороне параллелограмма, равной a. Найдите вторую диагональ параллелограмма.

Подсказка

Примените теорему Пифагора и теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

Ответ

Пусть диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна его стороне AB, причём AB = CD = a, BD = b. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD находим, что

AD² = AB² + BD² = a² + b².

По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AC² + BD² = 2 ^. AB² + 2 ^. AD², или AC² + b² = 2a² + 2(a² + b²),

откуда AC² = 4a² + b².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2650