Задача 54793

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Имеются четыре окружности. В первой проведена хорда AB, при этом расстояние от середины меньшей из двух образовавшихся дуг до AB равно 1. Вторая, третья и четвёртая окружности расположены внутри большего сегмента и касаются хорды AB. Вторая и четвёртая окружности касаются изнутри первой и внешним образом третьей. Сумма радиусов трёх последних окружностей равна радиусу первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, если известно, что прямая, проходящая через центры первой и третьей окружностей, непараллельна прямой, проходящей через центры двух других окружностей.

Подсказка

Пусть O₁, O₂, O₃ и O₄ — центры окружностей. Докажите, что O₁O₂O₃O₄ — параллелограмм.

Решение

Обозначим через O₁, O₂, O₃ и O₄ центры первой, второй, третьей и четвёртой окружности соответственно, а их радиусы — соответственно r, x, y и z. По условию x + y + z = r. Поскольку первая и вторая окружности касаются внутренним образом, а третья и четвёртая — внешним, то

O₁O₂ = r - x = y + z = O₃O₄.

Точно так же докажем, что O₁O₄ = O₂O₃.

Предположим, что точки O₂ и O₄ лежат по одну сторону от прямой O₁O₃. Тогда O₂O₄ || O₁O₃, что противоречит условию. Значит, эти точки лежат по разные стороны от указанной прямой и O₁O₂O₃O₄ — параллелограмм.

Пусть M — середина меньшей дуги AB первой окружности, K — точка пересечения O₁M и AB, F — точка касания четвёртой окружности с хордой AB, O₂P и O₃Q — перпендикуляры к O₁M и O₄F соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников O₁O₂P и O₄O₃Q следует, что O₁P = O₄Q, или r - 1 - x = z - y, откуда

y = x + z - r + 1 = (r - y) - r + 1 = 1 - y.

Следовательно, y = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2739