Задача 54919

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD ( BC || AD ) известно, что AB = c и расстояние от середины отрезка CD до прямой AB равно d . Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть M — середина боковой стороны CD трапеции ABCD (рис.1), MN — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую AB , MN = d , h — высота трапеции. Тогда

S_{Δ AMD} + S_{Δ BMC} = AD· h + BC· h = · (AD + BC)h = S_ABCD,
поэтому
S_{Δ ABM} = S_ABCD - S_{Δ AMD} - S_{Δ BMC} = S_ABCD.
Следовательно,
S_ABCD = 2S_{Δ ABM} = 2· AB· MN = AB· MN = cd.




Пусть M — середина боковой стороны CD трапеции ABCD (рис.2), MN — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую AB , MN = d . Через точку M проведём прямую, параллельную боковой стороне AB . Пусть эта прямая пересекает прямые BC и AD в точках K и L соответственно. Тогда треугольники CKM и DLM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому площадь трапеции ABCD равна площади параллелограмма ABKL , т.е. AB· MN = cd .

Ответ

cd .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2863