Задача 54960

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если какую-либо точку внутри параллелограмма соединить со всеми его вершинами, то сумма площадей двух противолежащих треугольников равна сумме площадей двух других.

Подсказка

Докажите, что сумма площадей двух противоположных треугольников равна половине площади параллелограмма (или проведите через данную точку прямые, параллельные сторонам параллелограмма).

Решение

Первый способ.

Пусть M — точка внутри параллелограмма ABCD, P и Q — её проекции на прямые BC и AD. Тогда

S(MBC) + S(AMD) = BC ^. MP + AD ^. MQ =

= AD ^. (MP + MQ) = AD ^. PQ,

причём PQ — высота параллелограмма ABCD. Поэтому найденная сумма равна половине площади параллелограмма.

Второй способ.

Через точку M, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведём прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре меньших параллеллограмма. Диагонали AM, BM, CM и DM разбивают каждый из этих четырёх параллелограммов на два равных треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3016