Задача 54972

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S₁, S₂, S₃. Найдите площадь S данного треугольника.

Подсказка

Каждый из получившихся трёх треугольников подобен данному.

Решение

  Каждый из получившихся треугольников подобен данному. Отношение сторон подобных треугольников равно квадратному корню из отношения их площадей.
  Поскольку сумма соответствующих сторон получившихся треугольников равна стороне соответствующей стороне исходного треугольника (см. рис.), то  

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.1
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	3
Название	Отношение площадей подобных треугольников
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.035
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3028