Задача 54980

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC, причём  BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3.  Точка R делит сторону AC этого треугольника так, что
AR : RC = 1 : 2.  Чему равно отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T – точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственно?

Подсказка

Найдите отношения  AS : AQ  и  AT : AP.

Решение

  Проведём через вершину A прямую, параллельную BC, и продолжим BR до пересечения с этой прямой в точке K. Из подобия треугольников ARK и CRB находим, что  AK = ½ BC = BQ.  Значит, треугольники ASK и QSB равны. Из подобия треугольников ATK и PTB – AT : TP = AK : BP = 3 : 1.
  Поэтому  S_PQST = S_APQ – S_ATS = S_APQ – ^AS/_AQ·^AT/_AP S_APQ = S_APQ(1 – ¾·½) = ⁵/₈ S_APQ = ⁵/₈·¹/₃·S_ABC = ⁵/₂₄ S_ABC.

Ответ

5 : 24.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3036