Задача 55006
|
|
 |
Условие
Произвольный четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника; площади трех из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвертого треугольника. Найдите площадь данного четырехугольника.
Подсказка
Если M - точка пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD, то S(AMB)/S(AMD) = S(BMC)/S(DMC).
Решение
Пусть M - точка пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD. Если
S(AMD) = 30, S(AMB) = 10, S(CMD) = 20,
то
BM/MD = S(AMB)/S(AMD) = 1/3и
S(BMC) = (1/3) . S(CMD) = 20/3 < 10.
Разбирая остальные возможные случаи, убеждаемся, что
возможны только два из них:
S(AMB) = 20, S(AMD) = 10, S(CMD) = 30 или
S(AMB) = 30, S(AMD) = 10, S(CMD) = 20.
В каждом из возможных случаев
S(BMC) = 60.
Следовательно, S(ABCD) = 10 + 20 + 30 + 60 = 120.
Ответ
120.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3062 |
