|
|
 |
Условие
Дана трапеция ABCD. Параллельно её основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны AB и CD соответственно в точках P и Q, а диагонали AC и BD соответственно в точках L и R. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что BC = a, AD = b, а площади треугольников BOC и LOR равны. Найдите PQ, если точка L лежит между точками A и O.
Подсказка
Докажите, что AL/AC = b–a/b+a.
Решение
Из условия следует, что b > a. Треугольники BOC и ROL подобны, а поскольку они равновелики, то равны.
Из подобия треугольников BOC и DOA следует, что
AO : OC = b : a.
Поэтому AL/LC = b–a/2a, AL/AC = b–a/b+a.
Из подобия треугольников APL и ABC следует, что
PL : BC = AL : AC.
Отсюда PL = a(b–a)/b+a.
Аналогично RQ = a(b–a)/b+a. Следовательно, PQ = PL + LR + RQ = 2a(b–a)/b+a + a = a(3b–a)/b+a.
Ответ
a(3b–a)/b+a.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3145 |
