|
|
 |
Условие
Продолжения сторон KN и LM выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и MN – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найдите сторону KL, если KQ = 12, NQ = 8, а площадь четырёхугольника KLMN равна площади треугольника LQM.
Подсказка
См. задачу 55092.
Решение
Проведём через точку K прямую, параллельную PQ. Пусть A, B и C – точки пересечения этой прямой с прямой QM, с биссектрисой угла KQN и с прямой PL соответственно.
Треугольник AQK – равнобедренный, так как его биссектриса QB является высотой. Поэтому QA = QK = 12. Значит, AN = AQ – QN = 4.
Из подобия треугольников PNQ и KNA следует, что
PQ = AK·QN/NA = 2AK.
Пусть KQ = xQL, AM = yQM. Тогда из подобия треугольников KLC и QLP следует, что KC = (x – 1)PQ = 2(x – 1)AK. Из подобия треугольников PMQ и CMA – AC = (y – 1)PQ = 2(y – 1)AK. Поэтому 2y – 2x = 2(y – 1) – 2(x – 1) = 1.
Кроме того, xy = SKQA/SLQM = 3/2 SKQN/SLQN·SLQM = 3. Следовательно, 2y·2x = 12. Отсюда 2y = 4, 2x = 3, то есть QL = 2/3 QK = 8, KL = 4.
Ответ
4.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3149 |
