Информация о задаче

Задача 55098

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны параллелограмма равны 3 и 2, а угол между ними равен arccos ${\frac{5}{16}}$ . Две взаимно перпендикулярные прямые делят параллелограмм на четыре равновеликие части. Найдите отрезки, на которые эти прямые делят стороны параллелограмма.

Подсказка

Докажите, что точки пересечения указанных прямых со сторонами параллелограмма являются вершинами ромба.

Решение

Пусть точки M, Q, N и P принадлежат сторонам соответственно BC, CD, AD и AB параллелограмма ABCD,

AB = CD = 2, BC = AD = 3, cos $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{16}}$ .

Поскольку трапеции ABMN и DCMN равновелики, то

BM + AN = MC + ND, или BM + (3 - ND) = (3 - BM) + ND.

Следовательно, BM = ND. Поэтому отрезок MN делит пополам диагональ BD. Тогда он проходит через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Аналогично докажем, что BP = DQ и отрезок PQ также проходит через точку O. Кроме того OM = ON и PO = OQ. Поэтому четырёхугольник MQNP — ромб.

Обозначим BM = ND = x, BP = DQ = y, $\angle$ BAD = $\alpha$ . Тогда

MC = AN = 3 - x, AP = CQ = 2 - y.

Поскольку S_PBMO = S_QOMC и S_OMP = S_OMQ, то S_PBM = S_QCM, или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xy sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3 - x)(2 - y)sin $\displaystyle \alpha$ .

После упрощения получим уравнение xy = (3 - x)(2 - y), из которого находим, что y = 2 - ${\frac{2x}{3}}$ .

По теореме косинусов из треугольников APN и BPM находим, что

PN² = (3 - x)² + (2 - y)² - 2(3 - x)(2 - y)^. $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{16}}$ ,

PM² = x² + y² + 2xy^. $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{16}}$ .

Поскольку PN = PM, то

(3 - x)² + (2 - y)² - $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{8}}$ (3 - x)(2 - y) = x² + y² + $\displaystyle {\frac{5xy}{8}}$ .

Подставив 2 - ${\frac{2x}{3}}$ вместо y и упростив, получим уравнение

x² - 7x + 6 = 0.

Условию задачи удовлетворяет только один его корень x = 1. Следовательно,

BM = 1, MC = 2, BP = y = 2 - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ , AP = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ .

Ответ

1 и 2; ${\frac{2}{3}}$ и ${\frac{4}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3154