Информация о задаче

Задача 55110

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Пятиугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

Подсказка

Докажите, что диагонали данного пятиугольника параллельны его сторонам.

Решение

Пусть K — точка пересечения диагоналей AC и BE. Поскольку S_ABE = S_ABC, то S_AKE = S_BKC. Поэтому AK^.KE = BK^.KC, или ${\frac{AK}{KC}}$ = ${\frac{BK}{KE}}$ . Следовательно, EC || AB. Аналогично докажем, что остальные диагонали также параллельны соответствующим сторонам.

Поскольку DEKC — параллелограмм, то S_EKC = S_EDC = 1. Обозначим S_AKE = x. Тогда

$\displaystyle {\frac{S_{AKE}}{S_{\Delta AKB}}}$ = $\displaystyle {\frac{EK}{KB}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{1-x}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta EKC}}{S_{\Delta CKB}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$ .

Из уравнения ${\frac{x}{1-x}}$ = ${\frac{1}{x}}$ находим, что x = ${\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ . Следовательно,

S_ABCDE = S_ABC + S_DEKC + S_AKE = 1 + 2 + x = $\displaystyle {\frac{5+\sqrt{5}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3166