Информация о задаче

Задача 55134

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Купцов Л.

Два треугольника A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, площади которых равны соответственно S₁ и S₂, расположены так, что лучи A₁B₁ и A₂B₂, B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂ противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂.

Подсказка

Найдите коэффициенты подобия для каждой пары указанных треугольников.

Решение

Пусть M, N, K — середины отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ соответственно. Треугольники A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ и MNK подобны, т.к. их углы соответственно равны.

Пусть B₁C₁ = a₁, B₂C₂ = a₂, a₂ > a₁. Тогда

$\displaystyle {\frac{a_{2}}{a_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1}}}}$ .

Поскольку отрезок KN соединяет середины K и N диагоналей C₁C₂ и B₁B₂ трапеции B₁C₁B₂C₂, то KN = ${\frac{1}{2}}$ (a₂ - a₁). Тогда

S_MNK = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{KN}{B_{1}C_{1}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{KN}{B_{1}C_{1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{KN}{B_{1}C_{1}}}\right)^{2}_{}$ S₁ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a_{2} - a_{1}}{2a_{1}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a_{2} - a_{1}}{2a_{1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a_{2} - a_{1}}{2a_{1}}}\right)^{2}_{}$ S₁ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a_{2}}{a_{1} - 1} }\right.$ $\displaystyle {\frac{a_{2}}{a_{1} - 1}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a_{2}}{a_{1} - 1} }\right)^{2}_{}$ S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1} - 1}} }\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1} - 1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1} - 1}} }\right)^{2}_{}$ S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \sqrt{S_{2}}$ - $\displaystyle \sqrt{S_{1}}$ )².

Ответ

${\frac{1}{4}}$ ( $\sqrt{S_{1}}$ - $\sqrt{S_{2}}$ )².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3209