Задача 55373

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Центр масс ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Пусть О – центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n,  X – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
   a)  

   б)   

Подсказка

Если при повороте на угол, не кратный 360°, относительно начала вектор переходит сам в себя, то этот вектор – нулевой.

Решение

   а) Обозначим      При повороте на угол вокруг точки O точка A_i переходит в точку A_i+1  (1 ≤ i ≤ n – 1),  а точка A_n – в точку A₁. Поэтому вектор a при таком повороте переходит сам в себя. Следовательно,  a = 0.

   б)

Замечания

1. Оба утверждения – частные случаи известного свойства центра масс.

2. В книге Алфутовой и Устинова предлагался только п. а).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4522
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.064
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Геометрия помогает алгебре
Тема	Неопределено
задача
Номер	08.001