Задача 55460

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Основание каждой высоты треугольника проектируется на стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек лежат на одной окружности.

Подсказка

Докажите сначала, что четыре из указанных проекций, лежащие на двух сторонах треугольника, образуют вписанный четырёхугольник, а затем – что каждая из двух оставшихся проекций лежит на описанной окружности этого четырёхугольника.

Решение

  Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC. Пусть B₂ и C₂ – проекции основания A₁ высоты AA₁ на стороны AC и AB. Аналогично определяются проекции C₃, A₂ и B₃, A₃ оснований B₁ и C₁ высот BB₁ и CC₁ (см. рисунок). Из задачи 52357 б) следует, что  ∠B₁C₁A = ∠C.  По той же причине  ∠C₃B₃A = ∠B₁C₁A = ∠C.
  Точки B₂ и C₂ лежат на окружности с диаметром AA₁. Поэтому  ∠C₃C₂B₂ = ∠AC₂B₂ = ∠AA₁B₂ = ∠C = ∠C₃B₃A,  то есть четырёхугольник B₂B₃C₃C₂ вписанный.
  Аналогично  ∠CA₂B₂ = ∠B,  ∠BA₂C₃ = ∠A,  поэтому  ∠B₂A₂C₃ = ∠С = ∠AB₃C₃.  Следовательно, точка A₂ лежит на описанной окружности четырёхугольника B₂B₃C₃C₂. Аналогично для точки A₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4782