Информация о задаче

Задача 55526

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Готман Э.Г.

Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде. Чему равна разность длин сторон квадратов?

Подсказка

Найдите соотношения между сторонами квадратов, радиусом окружности и данной величиной h.

Решение

Пусть O — центр окружности, PQ — указанная хорда, H — её середина (OH = h), ABCD и KLMN — указанные квадраты (рис.1), E и F — середины отрезков MN и BC. Обозначим стороны этих квадратов через a и b соответственно, а радиус окружности — через r.

Из прямоугольниых треугольников OEN и OFB находим, что

b + h = HE + OH = EO = $\displaystyle \sqrt{ON^{2} - NE^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{r^{2} - \frac{b^{2}}{4}}$ ,

a - h = HF - OH = FO = $\displaystyle \sqrt{OB^{2} - FB^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{r^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$ .

Поэтому

(b + h)² = r² - $\displaystyle {\frac{b^{2}}{4}}$ , (a - h)² = r² - $\displaystyle {\frac{a^{2}}{4}}$ .

Вычитая почленно эти равенства, получим, что

(b + h)² - (a - h)² = $\displaystyle {\frac{a^{2} - b^{2}}{4}}$ , 2h - (a - b) = $\displaystyle {\frac{a - b}{4}}$ .

Отсюда находим, что a - b = ${\frac{8}{5}}$ h.

Ответ

${\frac{8}{5}}$ h.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4849