|
|
 |
Условие
Dписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Известно, что AA1 = BB1 = CC1. Докажите, что треугольник ABC правильный.
Решение
Треугольник B1AC1 равнобедренный, его равные углы при основании B1C1 острые. Поэтому их смежные углы тупые и равны между собой. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. По теореме синусов
B1C1 : sin∠C1BB1 = BB1 : sin∠BC1B1 = CC1 : sin∠CB1C1 = B1C1 : sin∠B1CC1. Поэтому sin∠C1BB1 = sin∠B1CC1, а так как углы острые, то
∠C1BB1 = ∠B1CC1. Тогда ∠CC1B1 = ∠BB1C1 и треугольники CC1B1 и BB1C1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BC1 = CB1, BA1 = BC1 = CB1 = CA1, то есть
A1 – середина BC. Аналогично B1 – середина AC, а C1 – середина AB. Значит, AB = 2BC1 = 2BA1 = BC = 2CA1 = 2CB1 = AC.
Второй способ. Значит, углы ABB1 и ACC1 острые. В треугольниках ABB1 и ACC1 AB1 = AC1, BB1 = CC1, а угол A общий. По лемме из решения задачи 108120 эти треугольники равны,
AB = AC. Аналогично AB = BC.
