Задача 55561

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Неравенство треугольника ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри острого угла даны точки M и N. С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах угла точки K и L так, чтобы периметр четырёхугольника MKLN был наименьшим.

Подсказка

Примените симметрию относительно сторон угла и воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Пусть M₁ — точка, симметричная точке M относительно одной из сторон угла, N₁ — точка, симметричная точке N относительно другой стороны, K и L — точки на соответствующих сторонах угла . Тогда

MK + KL + NL = M₁K + KL + N₁L M₁N₁

(неравенство треугольника). Следовательно, минимум этой суммы достигается для точек K и L, являющихся точками пересечения прямой M₁N₁ со сторонами данного угла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5008