Задача 55593

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

Даны прямая l и точки A и B по одну сторону от нее. Пусть A₁ и B₁ — проекции этих точек на прямую l. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку M, чтобы угол AMA₁ был вдвое меньше угла BMB₁.

Подсказка

Пусть O - точка, симметричная данной точке A относительно данной прямой l. С центрами в точках A и O постройте окружности радиусом, равным AA₁. Через вторую данную точку B проведите касательные к этим окружностям.

Решение

Рассмотрим сначала случай, когда искомая точка M расположена на отрезке A₁B₁.

Строим точку O, симметричную точке A относительно прямой l. С центром в точке O строим окружность радиусом, равным OA₁. Через точку B проводим касательную к построенной окружности, пересекающую отрезок A₁B₁ в точке M. Пусть K — точка касания. Тогда

BMB₁ = A₁MK = 2A₁MO = 2AMA₁.

Для нахождения точки M на продолжении отрезка A₁B₁ за точку B₁ строим окружность с центром в точке A радиусом, равным AA₁. Через точку B проводим касательную BF к этой окружности (F — точка касания), пересекающую продолжение отрезка A₁B₁ (за точку B₁) в точке M. Тогда

BMB₁ = FMA₁ = 2AMA₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5041