|
|
 |
Условие
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии,— параллелограмм.
Подсказка
Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение
Пусть O — центр симметрии четырёхугольника ABCD. Поскольку при движении прямая переходит в прямую, то точка пересечения двух прямых переходит в точку пересечения их образов. Следовательно, вершина четырёхугольника переходит в вершину.
Предположим, что вершина A переходит в соседнюю вершину B. Тогда центр O симметрии — середина отрезка AB, а т.к. при этом вершины C и D — симметричны относительно точки O, то отрезки AB и CD пересекаются, что невозможно.
Таким образом, вершина A переходит в вершину C, а вершина B — в D. Тогда диагонали AC и BD четырёхугольника пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 5701 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 16 |
| Название | Центральная симметрия |
| Тема | Центральная симметрия |
| параграф | |
| Номер | 0 |
| Название | Вводные задачи |
| Тема | Центральная симметрия (прочее) |
| задача | |
| Номер | 16.000.2 |
