Задача 55709

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан параллелограмм ABCD и точка M. Через точки A, B, C и D проведены прямые, параллельные прямым MC, MD, MA и MB соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.

Подсказка

Рассмотрите образ точки M при симметрии относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

Решение

Пусть M₁ — образ точки M при симметрии относительно точки O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. При этой симметрии вершина A переходит в вершину C. Следовательно, прямая M₁C параллельна прямой MA. Аналогично докажем, что прямые M₁A, M₁B и M₁D соответственно параллельны MC, MD и MB. Поскольку через данную точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой, то утверждение доказано.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5704