Задача 55721
|
|
 |
Условие
В квадрате ABCD точки K и M принадлежат сторонам BC и CD соответственно, причём AM – биссектриса угла KAD.
Докажите, что AK = DM + BK.
Решение 1
Повернём треугольник ADM на 90° вокруг точки A (см. рис.). При этом он перейдёт в равный треугольник ABL, причём BL – продолжение отрезка CB. Заметим, что
∠KAL = ∠KAB + ∠LAB = ∠KAB + ∠KAM = ∠BAM = ∠DMA = ∠KLA.
Таким образом, треугольник AKL – равнобедренный (AK = KL). Отсюда BK + DM = BK + BL = KL = AK.
Решение 2
Считая AB = 1, ∠MAD = α, имеем: DM = tg α, BK = ctg 2α, AK = cosec 2α. Задача свелась к проверке тождества: tg α + ctg 2α = cosec 2α.
Замечания
4 балла
