Задача 56466

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка M.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и OA.

Решение

Пусть C, D, E, F – середины сторон AO, OB, BM, MA соответственно четырёхугольника AOBM соответственно. Поскольку  AB = MO = R,  где R – радиус данной окружности, то согласно задаче 56457 CDEF – ромб. Поэтому  CE ⊥ DF.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	1
Название	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер	01.011