Задача 56498

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбраны точки D и E так, что  CD = CE.  Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек D и C на прямую AE, пересекают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что  KL = LB.

Решение

На продолжении отрезка AC за точку C возьмём точку M так, что  CM = CE  (см. рис.). Тогда треугольник ACE при повороте с центром C на 90° переходит в треугольник BCM. Поэтому прямая MB перпендикулярна прямой AE, а значит, параллельна прямой CL. Так как  MC = CE = DC  и прямые DK, CL и MB параллельны, то  KL = LB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.042