Условие
Через точку
M, лежащую внутри окружности
S,
проведена хорда
AB; из точки
M опущены перпендикуляры
MP
и
MQ на касательные, проходящие через точки
A и
B.
Докажите, что величина 1/
PM + 1/
QM не зависит от выбора
хорды, проходящей через точку
M.
Решение
Пусть
— угол между хордой
AB и касательной,
проходящей через один из ее концов. Тогда
AB = 2
R sin
,
где
R — радиус окружности
S. Кроме того,
PM =
AM sin
и
QM =
BM sin
. Поэтому
+
= ((
AM +
BM)/sin
)
AM . BM = 2
R/(
AM . BM).
Величина
AM . BM не зависит от выбора хорды
AB.
Источники и прецеденты использования
