Задача 56681

Темы:    [ Три окружности одного радиуса ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Удвоение медианы ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Три окружности радиуса R проходят через точку H; A, B и C — точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что:
а) H — точка пересечения высот треугольника ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей (рис.). Тогда A₁BC₁H — ромб, а значит,  BA₁ || HC₁. Аналогично  B₁A || HC₁, поэтому  B₁A || BA₁ и B₁ABA₁ — параллелограмм.
а) Так как  A₁B₁ CH и  A₁B₁ || AB, то  AB CH. Аналогично доказывается, что  BC AH и  CA BH.
б) Так же, как было доказано, что  B₁A || BA₁, можно доказать, что  B₁C || BC₁ и  A₁C || AC₁; кроме того, длины всех этих шести отрезков равны R. Достроим треугольник BA₁C до ромба BA₁CO. Тогда AB₁CO тоже ромб. Поэтому  AO = BO = CO = R, т. e. O — центр описанной окружности треугольника ABC, и ее радиус равен R.

Замечания

В "Задачнике Кванта" задача была в следующей формулировке:
Докажите, что если три окружности одинаковых радиусов проходят через некоторую точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	4
Название	Три окружности одного радиуса
Тема	Три окружности одного радиуса
задача
Номер	03.024
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М87