Условие
В прямоугольник
ABCD вписаны два различных
прямоугольника, имеющих общую вершину
K на стороне
AB. Докажите,
что сумма их площадей равна площади прямоугольника
ABCD.
Решение
Центры всех трех прямоугольников совпадают (см. задачу
1.7), поэтому два меньших прямоугольника имеют общую
диагональ
KL. Пусть
M и
N — вершины этих прямоугольников,
лежащие на стороне
BC. Точки
M и
N лежат на окружности с
диаметром
KL. Пусть
O — центр этой окружности.
O1 — проекция точки
O на
BC. Тогда
BO1 =
CO1 и
MO1 =
NO1, а значит,
BM =
NC. Чтобы доказать, что
SKLM +
SKLN =
SKBCL, достаточно
проверить, что
(
SKBM +
SLCM) + (
SKBN +
SLCN) =
SKBCL =
BC(
KB +
CL)/2 =
BC . AB/2. Остается заметить, что
KB . BM +
KB . BN =
KB . BC,
LC . CM +
LC . CN =
LC . BC
и
KB . BC +
LC . BC =
AB . BC.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
4 |
|
Название |
Площадь |
|
Тема |
Площадь |
|
параграф |
|
Номер |
2 |
|
Название |
Вычисление площадей |
|
Тема |
Площадь треугольника. |
|
задача |
|
Номер |
04.010 |
