Задача 56462

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вершины параллелограмма A₁B₁C₁D₁ лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A₁ лежит на стороне AB, точка B₁ – на стороне BC и т. д.).
Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

Решение 1

Центр параллелограмма A₁B₁C₁D₁ как середина отрезка B₁D₁ принадлежит отрезку, соединяющему середины сторон AB и CD. Аналогично он принадлежит отрезку, соединяющему середины сторон BC и AD. Точка пересечения этих отрезков – центр параллелограмма ABCD.

Решение 2

Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ – вершины одного параллелограмма, лежащие на сторонах a, b, c, d параллелограмма ABCD соответственно, а O – центр параллелограмма A₁B₁C₁D₁. При симметрии относительно точки O точки A₁ и C₁, а также точки B₁ и D₁ попарно переходят друг в друга. Прямая a переходит в параллельную ей прямую, проходящую через точку C₁ – образ точки A₁, то есть в прямую c. Аналогично прямая b переходит в прямую d. Значит, параллелограмм ABCD при этой симметрии переходит в себя, то есть точка O является его центром.

Замечания

Источник решения 2: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	08
Дата	1985
задача
Номер	11
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	1
Название	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер	01.007