Задача 56787

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Решение

Обозначим площади частей фигуры, на которые ее делят прямые, так, как показано на рис. Площадь всей фигуры обозначим через S. Так как  S₃ + (S₂ + S₇) = S/2 = S₁ + S₆ + (S₂ + S₇), то  S₃ = S₁ + S₆. Складывая это равенство с равенством  S/2 = S₁ + S₂ + S₃ + S₄, получаем  S/2 = 2S₁ + S₂ + S₄ + S₆ 2S₁, т. е.  S₁ S/4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	6
Название	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
Тема	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
задача
Номер	04.036