Задача 56788

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь трапеции ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

Решение

   Обозначим проекцию прямой l через B, крайние точки проекции многоугольника – через A и C. Пусть C₁ – точка многоугольника, проецирующаяся в точку C; прямая l пересекает многоугольник в точках K и L, а K₁ и L₁ – точки прямых C₁K и C₁L, проецирующиеся в точку A (см. рисунок).

   Одна из частей, на которые прямая l делит многоугольник, содержится в трапеции K₁KLL₁, другая содержит треугольник C₁KL. Поэтому  S_K1KLL1 ≥ S_C1KL,  то есть  AB·(KL + K₁L₁) ≥ BC·KL.  Так как  K₁L₁ : KL = (AB + BC) : BC,  то     Решая это квадратное неравенство, получаем  
   Аналогично  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	6
Название	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
Тема	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
задача
Номер	04.037