Задача 56811

Тема:    [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Решение

Отрежем от правильного восьмиугольника треугольники и переставим их так, как показано на рис. В результате получим прямоугольник, стороны которого равны наибольшей и наименьшей диагоналям восьмиугольника. Тогда  B₁C₁ = 2 sin(A/2), а значит,  2 sin(A/2)R_a d_c + d_b. Умножая это неравенство на аналогичные неравенства для R_b и R_c и учитывая, что  sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = r/4R (задача 12.36, а)), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	9
Название	Перегруппировка площадей
Тема	Перегруппировка площадей
задача
Номер	04.059