Информация о задаче

Задача 57619

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) = r/4R;
б) tg( $\alpha$ /2)tg( $\beta$ /2)tg( $\gamma$ /2) = r/p;
в) cos( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) = p/4R.

Решение

а) Пусть O — центр вписанной окружности, K — точка касания вписанной окружности со стороной AB. Тогда

$\begin{multline*} 2R\sin\gamma =AB=AK+KB=r({\rm ctg}(\alpha /2)+{\rm ctg}(\beta... ...\\ =r\sin((\alpha +\beta )/2)(\sin(\alpha /2)\sin(\beta /2)). \end{multline*}$

Учитывая, что sin $\gamma$ = 2 sin( $\gamma$ /2)cos( $\gamma$ /2) и sin(( $\alpha$ + $\beta$ )/2) = cos( $\gamma$ /2), получаем требуемое.
б) Согласно задаче 3.2 p - a = AK = rctg( $\alpha$ /2). Аналогично p - b = rctg( $\beta$ /2) и p - c = rctg( $\gamma$ /2). Перемножая эти равенства и учитывая, что p(p - a)(p - b)×(p - c) = S² = (pr)², получаем требуемое.
в) Очевидным образом следует из задач а) и б).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	5
Название	Синусы и косинусы углов треугольника
Тема	Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер	12.036