Задача 56838

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 6 Классы: 8

Условие

а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть r, r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCP и ACP; h — высота, опущенная из вершины C. Докажите, что r = r₁ + r₂ - 2r₁r₂/h.
б) Точки A₁, A₂, A₃,... лежат на одной прямой (в указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + 1} равны одному и тому же числу r₁, то радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + k} равны одному и тому же числу r_k.

Решение

а) Пусть x₁ = BP и x₂ = AP. Тогда r₁ = , r₂ = , r = . После несложных преобразований требуемое равенство приводится к виду x₂(p² + x₁² - a²) + x₁(p² + x₂² - b²) = 0. Остается заметить, что p² + x₁² - a² = 2px₁cos BPC, p² + x₂² - b² = 2px₂cos APC и cos BPC = - cos APC.
б) Согласно задаче а) r_{k + 1} = r₁ + r_k - , где h — расстояние от точки B до прямой A₁A₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.008.1