Задача 56878

Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Решение

Ясно, что   =   и   = ,  поэтому   = .  Аналогично   =   и   = ,  то есть треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Кроме того, ABA₁B₁ и ACA₁C₁ – параллелограммы. Значит, отрезки BB₁ и CC₁ проходят через середину отрезка AA₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.043