Задача 56895

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема косинусов ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

Решение

  Длина общей касательной к данным окружностям равна    поэтому     то есть     Согласно задаче 57619 б)  
  Поэтому существует угол γ₁, для которого  
  Мы проверили, что треугольник со сторонами a₁, b₁, c₁ действительно существует; кроме того, угол между сторонами a₁ и b₁ равен γ₁. Диаметр описанной окружности этого треугольника равен     поскольку   c = p – r ctg ^γ/₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.057.1