Задача 56896

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC; окружность S₂ вписана в угол B и касается S₁ (внешним образом); окружность S₃ вписана в угол C и касается S₂; окружность S₄ вписана в угол A и касается S₃ и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

Решение

  Пусть u₁ и u₂ – радиусы окружностей S₁ и S₂. Согласно задаче 56895 радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    кроме того, в этом треугольнике угол между сторонами v₁ и v₂ тупой. Пусть φ₁, φ₂ и γ' – острые углы, опирающиеся на хорды v₁, v₂ и d. Тогда  φ₁ + φ₂ = γ';  при этом u₁ и u₂ однозначно восстанавливаются по φ₁ и φ₂. Аналогично получаем равенства  φ₁ + φ₂ = γ' = φ₄ + φ₅,   φ₂ + φ₃ = α' = φ₅ + φ₆,  φ₃ + φ₄ = β' = φ₆ + φ₇.
  Сложив первое и третье из этих равенств и вычитая второе, получим  φ₁ = φ₇.  Из этого следует, что радиусы окружностей S₁ и S₇ равны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.057.2