Информация о задаче

Задача 56976

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 7+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара $\varphi$ треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2) $\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$ , где a = BC (окружность Нейберга).

Решение

Согласно задаче 12.44, а)

ctg $\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}}$ ,

где S — площадь треугольника. Таким образом, для треугольника с вершинами в точках с координатами (±a/2, 0) и (x, y) угол Брокара $\varphi$ определяется равенством

ctg $\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{a^2+\left(a/2+x\right)^2+y^2+ \left(-a/2 +x\right)^2+y^2}{2ay}}$ ,

т. е. 2x² + 2y² + 3a²/2 = 2ayctg $\varphi$ . Последнее уравнение задает окружность радиуса (a/2) $\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$ с центром (0,(a/2)ctg $\varphi$ ).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.122.2