ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 56988
УсловиеТочки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC.а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A1, B2, B1, C2, C1, A2 лежат на одной окружности (окружность Тукера). б) Докажите, что если отрезки A1B2, B1C2 и C1A2 равны и антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A1, B2, B1, C2, C1, A2 лежат на одной окружности. РешениеЛегко проверить, что как из условия а), так и из условия б) вытекает следующее: четырехугольники A2B1C2C1, C2A1B2B1 и B2C1A2A1 являются равнобедренными трапециями. В случае а) нужно воспользоваться результатом задачи 5.125; в случае б) это очевидно. Ясно также, что серединные перпендикуляры к основаниям этих трапеций пересекаются в одной точке. Эта точка является центром искомой окружности.Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|