Задача 56993

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 7 Классы: 9

Условие

Прямые AK, BK и CK, где K — точка Лемуана треугольника ABC, пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что K — точка Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

Решение

Пусть A₂, B₂ и C₂ — проекции точки K на прямые BC, CA и AB. Тогда  A₁B₁C₁ A₂B₂C₂ (задача 5.100) и K -- точка пересечения медиан треугольника A₂B₂C₂ (задача 5.132). Поэтому преобразование подобия, переводящее треугольник A₂B₂C₂ в треугольник A₁B₁C₁, переводит точку K в точку M пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁. Кроме того, например,  KA₂C₂ = KBC₂ = B₁A₁K, т. е. точки K и M изогонально сопряжены относительно треугольника A₁B₁C₁, а значит, K — точка Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.134