|
|
 |
Условие
Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.
Решение
Из условия следует, что cos²A + cos²B + cos²C = 2. Из задачи 57622 б) видим, что cos A cos B cos C = – ½.
Пусть H – ортоцентр, K – середина стороны BC, O и J – центры описанной окружности и окружности девяти точек, R – радиус описанной окружности, тогда радиус окружности девяти точек равен R/2.
Согласно задаче 57694 OH² = R²(1 – 8 cos A cos B cos C) = 5R². Из задачи 108006 следует, что OJ² = ¼ OH² = R2 + (R/2)², то есть квадрат расстояния между центрами двух окружностей равен сумме квадратов их радиусов. Это и значит, что окружности пересекаются под прямым углом.
