Задача 57102

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Для каких n существует выпуклый n-угольник, у которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей — целые числа?

Решение

Докажем, что n 5. Пусть AB = 1, а C — вершина, не соседняя ни с A, ни с B. Тогда  | AC - BC| < AB = 1. Поэтому AC = BC, т. е. точка C лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Таким образом, кроме вершин A, B, C многоугольник может иметь еще лишь две вершины.
Пример пятиугольника, обладающего требуемым свойством, приведен на рис. Поясним, как он устроен. ACDE — прямоугольник, AC = ED = 1 и  CAD = 60^o. Точка B задается условием BE = BD = 3.
Примером четырехугольника, обладающего требуемым свойством, является прямоугольник ACDE на том же рисунке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	8
Название	Произвольные выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	06.089