Задача 57105

Темы:    [ Теорема Паскаля ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10 Название задачи: Теорема Паскаля.

Условие

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке G, BC и EF в точке H, CD и FA в точке K. Пусть, далее, X и Y — точки пересечения описанной окружности треугольника EBH с прямыми AB и DE. Покажем, что соответственные стороны треугольников ADK и XYH параллельны. (Из этого следует, что прямая KH проходит через точку G.)
Из равенств (YX, AB) = (YX, XB) = (YE, EB) = (DE, EB) = (DA, AB) следует, что AD| XY. После этого из равенств (XY, YH) = (XB, BH) = (AB, BC) = (AD, DC) = (AD, DK) следует, что DK| YH, а из равенств (YH, XH) = (YE, EH) = (DE, EF) = (DA, AF) = (DA, AK) следует, что AK| XH.
Отметим, что мы нигде не пользовались тем, что шестиугольник ABCDEF выпуклый; вместо шестиугольника можно взять самопересекающуюся шестизвенную ломаную с вершинами на окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	9
Название	Теорема Паскаля
Тема	Теорема Паскаля
задача
Номер	06.092